Basiladze je odchovancem Kutaisi Academy. Primárně nastupuje na levé straně, kde může hrát jako křídelník i krajní obránce. Cizí mu není ani pozice na pravém křídle. Za první tým Torpeda debutoval již v roce 2023, pravidelně však začal nastupovat až o dva roky později. V mateřském klubu odehrál 62 soutěžních zápasů s bilancí devíti gólů a osmi asistencí.
"Jedná se o moje první angažmá mimo domov a jsem opravdu šťastný, že tu mohu být. Slovan je klub se skvělou historií. Všichni v klubu mě přivítali moc hezky, za což bych jim chtěl poděkovat," řekl Basiladze po podpisu smlouvy. "Chtěl bych si fanoušky získat výkony na hřišti. Přál bych si, abychom bojovali o ty nejvyšší příčky a dosáhli úspěchů, které si klub zaslouží," dodal Gruzínec po přestupu do Liberce.
"V kádru nemáme moc levonohých fotbalistů, proto jsme rádi, že se nám podařilo dotáhnout příchod Aleka. Jedná se o rychlostně-silového hráče s tahem na branku, který umí být i gólový. Dokáže hrát na všech pozicích na levém kraji hřiště, navíc je členem gruzínské reprezentace do 21 let, kde byl prověřen i v mezinárodní konfrontaci," uvedl generální ředitel Jan Nezmar.
Rodák z Kutaisi je pravidelným členem gruzínských mládežnických reprezentací. Momentálně patří do kádru jednadvacítky, za kterou si připsal šest startů a jeden gól. Podle serveru inFotbal.cz zaplatil Slovan za rychlonohého hráče 750 tisíc eur (zhruba 18 milionů korun).